Associatron Demo: Cue → Competition → Spark → Recallの数式

 

https://cside-associatron.blogspot.com/2026/01/associatron-demo-cue-competition-spark.html

デモの数式

扉（部屋候補）を絞る＝Gate段（匂いマスクが効く）

1. 記憶同士を競争させる＝Memory段（匂いは効かない／描いた断片を全部使う）

その上で最後に OPEN条件 を満たしたら「扉が開く」。

Cueの作り方（ゲート用／記憶用）

画面で描いた入力を $x\in\{-1,+1\}^N$ とします（描いたピクセル $+1$、背景 $-1$）。

デモでは「描いた場所だけ」を手がかりに使うので、観測マスクを

$$m_i=\mathbf{1}[x_i=+1]$$

(a) 記憶競争用 cue（匂い無関係）

$$m_i^{\text{mem}}=m_i,q_i^{\text{mem}}=\mathbf{1}[x_i=+1]$$

(b) 扉（部屋選別）用 cue（匂いで通行制限）

匂いマスクを $s_i\in[0,1]$（匂いが通る場所は>0）とし、匂いONなら

$$m^{\text{gate}}_i = m_i\cdot \mathbf{1}[s_i>0],\qquad q^{\text{gate}}_i=\mathbf{1}[m^{\text{gate}}_i=1]$$

匂いOFFなら $m^{\text{gate}}=m$ と同じ。

カバレッジ（断片量）も条件に使ってます：

$$\mathrm{cov}_{\text{gate}}=\frac{1}{N}\sum_i m^{\text{gate}}_i,\qquad \mathrm{cov}_{\text{mem}}=\frac{1}{N}\sum_i m^{\text{mem}}_i$$

「部屋が開きそう度」＝部屋キーとの類似度

各部屋 $r$ はキー $k_r\in \{-1,+1{\}}^N$ を持つ（部屋内の記憶の重み付き多数決で作るやつ）。

扉用cueで部屋を採点：

$$s_r={\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{m}}_{\text{gate}}(k_r)=\frac{\sum _i{m}_i^{\text{gate}}{q}_i^{\text{gate}}{k}_{r,i}}{\sum _i{m}_i^{\text{gate}}}(\text{分母0なら }-1)$$

これがコードの scoreRoomByKey() → simGateToPattern() に相当。

この $s_r$ の上位2つを Top2 rooms として残す。

3) 記憶同士の競争（Top2だけでやる）

部屋 $r$ の中に記憶が複数ある： $\{v_{r,j}\in\{-1,+1\}^N\}$ と重み $w_{r,j}>0$。

記憶の採点は「匂い無関係」cueで：

$$\mu_{r,j} \;=\; \mathrm{sim}_{\text{mem}}(v_{r,j}) \;=\; \frac{\sum_i m^{\text{mem}}_i\, q^{\text{mem}}_i\, v_{r,j,i}} {\sum_i m^{\text{mem}}_i}$$

部屋 $r$ の最強記憶スコア：

$$M_r=\max_j \mu_{r,j}$$

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4) 最終スコア（部屋スコア＋記憶スコア）

デモでは「部屋の雰囲気」を少しだけ足すために：

$$F_r = M_r + \alpha s_r$$

コードだと $\alpha=0.15$。

Top2の中で勝者：

$$r^\*=\arg\max_{r\in\text{Top2}} F_r$$

次点との差（マージン）：

$$\mathrm{margin}=F_{r^\*}-\max_{r\in\text{Top2},\,r\neq r^\*}F_r$$

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5) 「扉が開く」判定（条件つき）

コードの条件はほぼこれ：

$$\text{OPEN} \iff \bigl(F_{r^\*}>\theta \bigr) \;\wedge\; \bigl(\mathrm{margin}>\Delta \bigr) \;\wedge\; \bigl(\mathrm{cov}_{\text{gate}}>\varepsilon \bigr)$$

• $\theta$：鍵が回る最低ライン（theta）

• $\Delta$：迷い（勝ち方が弱いと開かない）（delta）

• $\varepsilon$：断片が少なすぎると開かない（コードは 0.002）

匂いONのときはデモ上、迷いを少し小さくして「開きやすく」してる：

$$\Delta = \begin{cases} 0.75\,\Delta_0 & \text{smell ON}\\ \Delta_0 & \text{smell OFF} \end{cases}$$

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直感（短く）

• 匂いON：観測点が減る（マスク）→ 部屋キーとの一致が取りやすくなり、Top2が安定しやすい

• でも観測点が減りすぎると $\mathrm{cov}_{\text{gate}}$ が小さくなって OPENしない

1) 基本：部屋＝高次元ベクトル空間（4096畳）

デモの「体育館の絵」は

• 64×64 = 4096 次元

• 1マス（画素）＝畳1枚

なので部屋の状態は

$$x\in \{-1,+1{\}}^N,N=4096$$

（描いた = +1、背景 = -1）

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2) 時代別の部屋＝「部屋の集合」＝記憶領域の分割

時代（現在 / 10年前 / …）は 部屋インデックスです。

$$\mathcal{R}=\{r_0,r_{10},r_{20},r_{30},r_{40}\}$$

各部屋 $r$ は、その年代に属する記憶の集合（パターン群）を持つ：

$$\mathcal{M}_r=\left\{\, m_r^{(1)},m_r^{(2)},\dots,m_r^{(P_r)} \right\}, \qquad m_r^{(\mu)}\in\{-1,+1\}^{N}$$

ここで

• $P_r$ = その年代の記憶数

「Learnを押すと追加される」はこの $\mathcal{M}_r$ への追記です。

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3) “部屋のキー”＝その時代の代表ベクトル

コードでいう room.key は、
その年代の記憶を要約した “部屋の鍵” です。

重み $w_r^{(\mu)}>0$ を持つとして：

$$k_r=\operatorname{sign}\left(\sum_{\mu=1}^{P_r} w_r^{(\mu)}\, m_r^{(\mu)}\right), \qquad k_r\in\{-1,+1\}^{N}$$

（実装では「平均→符号」に相当）

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4) 畳（8×8）＝「部屋の位置/場所」表現（粗視化）

畳は 8×8=64 次元の別空間：

$$p_r \in [0,1]^{T},\qquad T=64$$

各部屋は固有の「畳配置（場所）」を持つ。
デモでは hotspot（1点＋周辺減衰）なので

$$p_r = \operatorname{hotspot}(t_r)$$

みたいに「場所 $t_r$ を中心とした分布」として定義できます。

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5) Cue（匂い＋描画）＝観測マスク付きの入力

ここがデモの肝です。

描画入力は $x^{in}\in\{-1,+1\}^N$。

ただし部屋を開けるときの Cue は 匂いマスクで通る次元が制限される。

匂いマスク：

$$s\in[0,1]^N$$

匂いON/OFFを $\delta\in\{0,1\}$ とすると、
“扉用観測マスク” は

$$g_i = \begin{cases} 1 & (x^{in}_i=+1)\ \wedge\ (\delta=0\ \lor\ s_i>0)\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

これがコードの mGate です。

そして扉用Cueは

$$q^{gate}_i = \begin{cases} +1 & g_i=1\\ 0 & g_i=0 \end{cases}$$

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6) 部屋を開ける＝「部屋キーとの一致度」で競争

部屋 $r$ の扉スコアは

$$S_r^{gate} = \frac{1}{|G|} \sum_{i\in G} q_i^{gate}\,k_{r,i} \qquad \left(G=\{i\mid g_i=1\}\right)$$

• 匂いONだと $G$ が狭くなる（選別される）

• そのぶん「40年前の鍵」に一致しやすくなる

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7) Top2 → 記憶競争（部屋またぎの最終勝者）

まず部屋候補：

$$\text{Top2}=\operatorname{arg\,top2}_r \ S_r^{gate}$$

次に、記憶自体（パターン）で競争する。

この設計では記憶競争は匂いの影響を受けないので、
記憶用Cueは単に描画：

$$q^{mem}_i= \begin{cases} +1 & x^{in}_i=+1\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

記憶 $\mu$ の一致度：

$$S_{r,\mu}^{mem} = \frac{1}{|M|} \sum_{i\in M} q_i^{mem}\, m_{r,i}^{(\mu)}$$

最終勝者は

$$(r^\*,\mu^\*) = \arg\max_{r\in Top2,\ \mu} \Bigl( S_{r,\mu}^{mem} + \lambda S_r^{gate} \Bigr)$$

コードだと $\lambda=0.15$。

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8) 扉が開く条件（θ と Δ）

勝者が決まっても、
「鍵が回る（OPEN）」には条件を課す。

勝者スコア：

$$F^{\text{*}}=S_{r^{\text{*}},{\mu }^{\text{*}}}^{mem}+\lambda S_{r^{\text{*}}}^{gate}$$

次点スコアを $F^{(2)}$ とすると、マージン：

$$\mathrm{\Delta }F=F^{\text{*}}-F^{(2)}$$

また、観測率（ covGate）は

$$\mathrm{cov}=\frac{\mathrm{\mid }G\mathrm{\mid }}{N}$$

扉OPEN条件：

$$\boxed{{\displaystyle F^{\text{*}}>\theta \wedge \mathrm{\Delta }F>\mathrm{\Delta }\wedge \mathrm{cov}>\epsilon }}$$

これが「扉を開ける」という概念の数式化です。
θ（閾値）と Δ（迷い）で“扉の厳しさ”を制御している。

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9) Spark（重なり）＝勝者部屋の “共通部分” の可視化

勝者部屋 $r^\*$ 内の記憶群の重なりを

$$\text{Spark}_i = \sum_{\mu=1}^{P_{r^\*}} \alpha_\mu\ \mathbf{1}[m_{r^\*,i}^{(\mu)}=+1]$$
$$\alpha_\mu = w_{r^\*}^{(\mu)} \cdot \max(0,S_{r^\*,\mu}^{mem})$$

として光らせている。

つまり Spark は

• 一致度が高い記憶ほど

• 重みが大きい記憶ほど

• +1だった場所が燃える

これは「重ね書きされた痕跡」そのもの。

※　この古いBloggerは翻訳機能を標準では持ってないんですけど、数式（LaTeX/MathJax）がそのまま綺麗に出るので使ってます。

※　今回のデモファイルはJavaScriptで作ってますが公開ダウンロードは出来ません。
テスト用なのですが、PythonとCに渡す前の実験なので、考え方の心臓部でもあるため、どこかで別のものを公開します。